From implicit filtering to explicit filtering

在影像處理中,我們常常對影像進行許多filtering,如跑下面這個3x3的box blur kernel W

W=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

每個output影像pixel O_i,可視為在kernel內的input影像pixel I_j的線性加總

O_{i}=\sum_{j{\in}W}{w_{j}I_{j}}

我們令這個動作被應用在全影像成一個線性系統,這邊把OI都展開成向量

A\vec{O}=\vec{I}

\vec{O}=A^{-1}\vec{I}

這邊的A^{-1}作用等同於對影像做一個W kernel的filtering,在這裡求解\vec{O}=A^{-1}\vec{I}系統最佳化我們稱之為implicit filtering,其實等同於做一個explicit的box filter,而後者明顯比較容易實現! 也更適合硬體實作。

不幸的是,我們定義問題時通常以一個quadratic form的線性系統Ax=b來做最佳化;令這些式子難以被實現成硬體加速(通常是memory trade-off或iteration問題)。於是將implicit filtering轉換成explicit filtering變成一個特別的研究方向。比方說L-1 regularization的最佳化問題可以被轉換成一個iterative median filtering [1]。

[1]Y. Li and S. Osher, “A New Median Formula with Applications to PDE Based Denoising,” Comm. Math. Sciences, vol. 7, pp. 741-753, 2009.

3 Replies to “From implicit filtering to explicit filtering”

  1. 你好,我想請問一個關於數學的問題: 為什麼把O和I展開成向量的時候,第一個式子會變成AO=I ? 謝謝。

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