From implicit filtering to explicit filtering

在影像處理中，我們常常對影像進行許多filtering，如跑下面這個3×3的box blur kernel \(W\)

\[W=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

每個output影像pixel \(O_i\)，可視為在kernel內的input影像pixel \(I_j\)的線性加總

\[O_{i}=\sum_{j{\in}W}{w_{j}I_{j}}\]

我們令這個動作被應用在全影像成一個線性系統，這邊把\(O\)和\(I\)都展開成向量

\[A\vec{O}=\vec{I}\]

\[\vec{O}=A^{-1}\vec{I}\]

這邊的\(A^{-1}\)作用等同於對影像做一個\(W\) kernel的filtering，在這裡求解\(\vec{O}=A^{-1}\vec{I}\)系統最佳化我們稱之為implicit filtering，其實等同於做一個explicit的box filter，而後者明顯比較容易實現! 也更適合硬體實作。

不幸的是，我們定義問題時通常以一個quadratic form的線性系統\(Ax=b\)來做最佳化；令這些式子難以被實現成硬體加速(通常是memory trade-off或iteration問題)。於是將implicit filtering轉換成explicit filtering變成一個特別的研究方向。比方說L-1 regularization的最佳化問題可以被轉換成一個iterative median filtering [1]。

[1]Y. Li and S. Osher, “A New Median Formula with Applications to PDE Based Denoising,” Comm. Math. Sciences, vol. 7, pp. 741-753,
2009.